Quick browsing

Home > Khoa học > Toán học > Cuộc khủng hoảng nền tảng toán học

Cuộc khủng hoảng nền tảng toán học

Friday 18 September 2009

Đối với các nhà toán học và triết học, huyền thoại Euclid là bất khả xâm phạm cho đến tận gần giữa thế kỷ 19. Tất cả đều coi hình học Euclid như là nhánh tri thức chắc chắn nhất, đáng tin cậy nhất. Hình học Euclid được coi là ngành nghiên cứu các tính chất của không gian thực; nó là tuyệt đối, độc lập, khách quan và có tác dụng như ví dụ tuyệt hảo nhất cho các tính chất của vũ trụ – những tính chất chính xác, vĩnh cửu và có thể nhận thức được. Ngay cả ngành toán giải tích cũng nhờ vào những quan hệ với hình học Euclid mà có được xác tín và giá trị của mình.

Thế nhưng nhiều cuộc khủng hoảng đã xảy ra trong thế kỷ 19. Một trong số đó là sự khám phá những hình học phi Euclid, mà hệ thống tiên đề của nó chỉ có một khác biệt so với hình học Euclid: phủ định tiên đề thứ năm về tính không cắt nhau của hai đường thẳng song song (1). [Xin nhắc lại, một tiên đề là một sự thật được công nhận phổ quát mà không cần chứng minh.] Sự khám phá này thực chất chỉ là kết quả của một nghi vấn kép đã có từ lâu: nghi vấn về tính hiển nhiên của tiên đề thứ năm. Câu hỏi người ta đặt ra là: khi kéo dài đến vô tận, liệu hai đường thẳng song song còn không cắt nhau nữa hay sẽ cắt nhau? Để loại bỏ nghi vấn khá nhức nhối này, các nhà hình học đã loay hoay tìm cách loại bỏ tiên đề Euclid thứ năm này bằng cách tìm một chứng minh rằng nó chỉ là một định lý, tức là hệ quả có thể được suy ra từ bốn tiên đề còn lại. Rất tiếc, mọi nỗ lực của họ đều không thành công.

Riemann

Sự khám phá ra những hình học phi Euclid đã dẫn đến một nghi vấn khác rằng hình học Euclid có thể không phải là hình học mô tả không gian thực chính xác như người ta vẫn nghĩ. Tức là một hình học phi Euclid nào đó có thể mới đúng là hình học của không gian thực. Thực tế, một loại hình học phi Euclid mang tên hình học Riemann sau này đã được Einstein sử dụng để chỉ ra rằng không gian là cong [xung quanh các vật thể có khối lượng], chứ không thuần phẳng như hình học Euclid.

Tuy nhiên, vấn đề hình học nào mô tả đúng thế giới vật lý chỉ là một phần nổi của câu chuyện. Phần nền của nó là tính đúng sai của bản thân hệ thống tiên đề Euclid. Câu hỏi là: Sự chung sống của năm tiên đề Euclid có thể dẫn tới mâu thuẫn hay không? Bởi lẽ nếu coi hệ thống tiên đề của hình học phi Euclid là đúng – đúng theo nghĩa các tiên đề đó có thể chung sống hoà bình – thì chẳng lẽ hệ thống tiên đề [của hình học] Euclid sai? Tức là, chẳng lẽ hình học Euclid – loại hình học chúng ta tin tưởng suốt 2000 năm lịch sử lại có thể sai?

Hilbert

Các nhà toán học trong thế kỷ 19, đặc biệt là Riemann đã nỗ lực trong việc chỉ ra rằng tính phi mâu thuẫn của hình học Euclid sẽ kéo theo tính phi mâu thuẫn của hình học phi Euclid (2), tức là nếu hình học Euclid vững chắc thì các hình học phi Euclid cũng vững chắc và ngược lại. Và trong thế kỷ 20 Hilbert đã đặt ra câu hỏi về tính vững chắc của hình học Euclid rồi đưa ra trả lời. Ông chỉ ra rằng các tiên đề Euclid chỉ có thể mâu thuẫn, nếu các qui luật của đại số cơ sở – cụ thể là các tiên đề của dãy số thực – có mâu thuẫn (3). Đây thực chất chỉ là một chứng minh gián tiếp và tương đối: đưa vấn đề về tính vững chắc của cả hình học Euclid lẫn phi Euclid về tính vững chắc của hệ tiên đề số thực – một hệ tiên đề cơ sở, hiển nhiên hơn và vẫn được coi là vững chắc [vì thậm chí cho tới tận bây giờ cũng chưa ai chỉ ra được tính mâu thuẫn của nó] (4). Ngày nay, đối với các nhà toán học thì cả hình học Euclid và những hình học phi Euclid đều có giá trị tương đương nhau: thỉnh thoảng người ta có thể ứng dụng chúng vào thế giới vật lý và cả hai loại đều vững chắc như nhau, xét một cách tương đối.

Dedekind

Đó là chưa kể tới những khám phá khác còn làm cho các nhà toán học ngạc nhiên hơn (5). Những tai nạn toán học này làm nảy sinh nghi vấn về cái nền tảng chắc chắn duy nhất của toán học: trực giác hình học. Về mặt tư tưởng, việc đánh mất tính chắc chắn trong hình học là không thể chịu đựng nổi đối với người thời đó, bởi lẽ cùng với nó là sự đánh mất bất kỳ tính chắc chắn nào của nhận thức con người. Như tôi đã trình bày ở phần trước, kể từ Platon hình học đã có tác dụng như ví dụ điển hình và trọng yếu rằng tính chắc chắc của nhận thức con người là khả thể.

Weierstrass

Đứng giữa cuộc khủng hoảng này, các nhà toán học trong thế kỷ 19, dẫn đầu bởi DedekindWeierstrass, đã dứt khỏi hình học và tập trung vào xây dựng số học như nền tảng mới của toán học. Để đạt được điều này, họ phải đưa ra được một kết cấu của hệ thống số thực R để chứng minh rằng nó có thể được xây dựng từng bước từ hệ thống số tự nhiên N. Dedekind, Weierstrass và Cantor đã đưa ra ba phương pháp khác nhau, nhưng cả ba đều dùng một tập hợp vô hạn các số hữu tỉ (6) để định nghĩa hoặc kiến tạo một số thực. Nỗ lực đặt lại cơ sở của hình học và giải tích trên nền số học này đã dẫn tới việc các tập hợp vô hạn tham gia vào cuộc chơi xây dựng nền tảng toán học mà cái giá người ta phải trả cho nó cũng đắt vô cùng. Nhưng trước hết, tôi xin quay trở lại với lý thuyết tập hợp của Cantor.

Lý thuyết tập hợp và chủ trương logic hoá toán học

Cantor đã định nghĩa một tập hợp một cách trực giác như sau: một tập hợp là một sự nhóm họp bất kỳ các đối tượng nhất định và khác nhau trong trực quan hoặc trong tư duy của chúng ta thành một tổng thể. Và các đối tượng có chứa trong một tập hợp được gọi là các phần tử.

Vì ý tưởng về tập hợp – một ý tưởng có từ trước Cantor – là một trong những ý tưởng đơn giản và thô sơ nhất của toán học – đơn giản tới mức ngày nay nó đã được đưa vào tận nhà trẻ – nên thậm chí cả số học cũng có thể được xây dựng trên nền lý thuyết tập hợp (7). Cũng bởi thế mà phải tới tận những năm 1880 vai trò của nó như là khái niệm nền tảng nhất trong toán học mới được xác định một cách cụ thể. Đó là nhờ công lao của Cantor – khi ông khám phá ra kết quả không tầm thường đầu tiên trong lý thuyết tập hợp: lực lượng của các tập vô hạn khác nhau có thể khác nhau [như tôi đã giới thiệu trong phần I]. Cantor đã phát triển lý thuyết tập hợp – còn được gọi là lý thuyết tập hợp ngây thơ [vì định nghĩa tập hợp rất trực giác trên]- như một nhánh mới, cơ bản và độc lập trong toán học.

Tuy nhiên, đằng sau định nghĩa dựa trên tưởng tượng trực giác trông có vẻ vô hại trên lại ẩn chứa một tổ ong vò vẽ những mâu thuẫn – chẳng hạn mâu thuẫn mang tên nghịch luật Russell (Russell’s antinomy) mà tôi sẽ nói tới dưới đây.

Vào thời điểm ban đầu, Frege chỉ ra rằng lý thuyết tập hợp có vẻ như hoàn toàn đồng nhất với luận lý học (logic). Quan hệ bao gồm trong lý thuyết tập hợp – như A là một tập con của B – có thể được viết lại thành quan hệ kéo theo trong luận lý học – như nếu A, thì B (8). Bởi vậy, có vẻ như là người ta có thể sử dụng luận lý học [có tính lý thuyết tập hợp này] như là cơ sở cho toàn bộ toán học. Luận lý học này – hiểu như là luận lý học có tính lý thuyết tập hợp – vẫn liên hệ chặt chẽ với các qui luật nền tảng của lý tính [như Kant đã định nghĩa] và vẫn là một đối tượng đặc thù của tự nhiên, vì chẳng hạn qui luật về mâu thuẫn (9) và các qui tắc của phép kéo theo trong luận lý học có giá trị khách quan và không thể nghi ngờ. Như vậy, nếu người ta có thể chứng minh được rằng toán học chỉ là sự mở rộng các qui luật của luận lý học thì chủ nghĩa Platon trong toán học sẽ được chứng thực, vì khi đó các tri thức toán học sẽ là tiên nghiệm như các tri thức luận lý học khác. Đây cũng chính là chủ trương luận lý học hoá toán học mang tên chủ nghĩa luận lý mà ban đầu là Frege và sau đó là RussellWhitehead theo đuổi.

Russell

Như tôi đã trình bày ở trên, vì toàn bộ toán học có thể qui về trên nền lý thuyết tập hợp, cho nên người ta chỉ cần xem xét cơ sở của lý thuyết tập hợp là đủ để kết luận rằng nền tảng của toán học là vững chắc hay không. Nhưng cũng chính Russell là người đã khám phá ra mâu thuẫn trong bản thân khái niệm tập hợp – một dạng mâu thuẫn được gọi là nghịch luật vào năm 1902. Nghịch luật xuất hiện bởi sự tin tưởng rằng bất kỳ một mệnh đề (predicate) nghe có vẻ thuận tai nào cũng có thể được sử dụng làm định nghĩa cho một [loại] tập hợp mà các phần tử của nó có chung một thuộc tính cụ thể. Để hiểu nghịch luật Russell, trước hết chúng ta gọi những tập hợp chứa chính nó như là một phần tử là những tập hợp dạng M (10). Và bây giờ chúng ta sẽ thử quan sát tập hợp RM được định nghĩa như sau: RM là tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chính nó như là một phần tử. Câu hỏi được đặt ra là: liệu RM có phải là một tập hợp dạng M? Câu trả lời tất nhiên là không. Vậy RM không phải là một tập hợp dạng M ư? Câu trả lời cũng là không (11). Như chúng ta thấy, bản thân định nghĩa trông có vẻ vô hại của tập hợp RM đã mang sẵn trong mình một mâu thuẫn nội tại. Đây chính là nội dung của nghịch luật Russell.

Nghịch luật Russell và các nghịch luật khác đã chỉ ra rằng trong thực tế, bản thân ngành luận lý học [có tính trực giác này] không hề chắc chắn hơn toán học cổ điển, mà ngược lại, nó chứa đựng những nguy cơ còn lớn hơn nhiều, bởi vì nó có thể tạo ra những tổ ong vò vẽ các mâu thuẫn mà trong số học hay hình học không bao giờ xuất hiện. Hơn nữa, bởi tính mâu thuẫn nội tại của mình, các tập hợp phạm phải nghịch luật không thể thuộc về thế giới hình thái của Platon như
Cantor đã từng quan niệm rằng mọi đối tượng toán học, trong đó có mọi tập hợp, đều là các hình thái tồn tại độc lập [với thế giới vật lý]. Chuyện này dẫn đến hệ quả là niềm tin ngây thơ rằng chủ nghĩa Platon là bản thể luận của toán học không thể kéo dài mãi mãi vô điều kiện.

Và mặc dù không phải nhà toán học nào cũng thực sự nhìn nhận nghịch luật Russell như một vấn đề nghiêm trọng trong toán học nhưng sức ảnh hưởng ghê gớm của nó đã được Fraenkel mô tả khá hình tượng như sau:

“Những nghịch luật đã như một cơn giông bão mang sấm sét nện vào bầu khí quyển toán học vừa mới trở nên yên ắng trong khúc ngoặt giữa hai thế kỷ và nhiều lần tác động của nó gần như là có tính hạ gục hoàn toàn.”

Trên đây là nội dung của cuộc khủng hoảng nền tảng trong toán học. Tôi xin tóm lược lại một lần nữa: bắt đầu bởi sự lung lay của hình học Euclid, người ta tìm cách xây dựng số học như nền tảng mới của toán học thay cho hình học. Thế rồi vì lý thuyết tập hợp [ngây thơ] ra đời với đầy hứa hẹn sẽ đáp ứng được những đòi hỏi về một lý thuyết đơn giản và đủ cơ bản để làm cơ sở cho số học, nên người ta đã chuyển sang xây dựng lý thuyết tập hợp như nền tảng mới của toán học, như Hilbert đã tuyên bố một cách lạc quan: „Chúng ta sẽ không bao giờ rời khỏi thiên đường (lý thuyết tập hợp) của Cantor này“. Sau đó, khi thấy lý thuyết tập hợp gần như hoàn toàn đồng nhất với luận lý học hình thức [mới được mở rộng bởi Frege] – ngành khoa học mà người ta coi là vững chắc nhất, khách quan nhất, không thể nghi ngờ nhất – người ta lại tìm cách qui toàn bộ toán học về luận lý học, với tham vọng phụ là chứng thực chủ nghĩa Platon. Nhưng rồi cái lâu đài trên cát ảo tưởng này sụp đổ bởi các mâu thuẫn nội tại mang tên nghịch luật của một số tập hợp.

Đứng trước tình hình đó, người ta đã đưa ra một số suy nghĩ sau đây. Thứ nhất, nhiều người tranh luận về việc liệu những nghịch luật xuất hiện trong lý thuyết tập hợp có ảnh hưởng gì đến toán học thực thụ – chẳng hạn như ngành giải tích – hay không. Bởi lẽ những khái niệm quỉ quái kia – như tập hợp chứa tất cả các tập hợp chứa chính nó – chỉ xuất hiện trong lý thuyết tập hợp ngây thơ kiểu Cantor hay luận lý học của Frege. Tức là, việc sửa chữa lại cơ sở lý thuyết tập hợp chỉ là nhiệm vụ của các nhà lý thuyết tập hợp và chỉ khi nào cơ sở của nó đủ vững chắc thì người ta mới cần tính đến xem liệu nó có xứng đáng trở thành ứng cử viên cho chiếc ghế nóng nền tảng toán học hay không. Thứ nhì, có người đề nghị chỉ nên coi các nghịch luật như là các mâu thuẫn và vì thế nên xếp chúng vào dạng các định lý không quan trọng và vứt xó.

Rốt cục thì, đối diện với căn bệnh nền tảng đó, có ba phương thuốc cụ thể khác nhau đã được người ta tiến cử.

(Còn tiếp…)

Nguyễn Khánh Hưng, Một số luồng tư tưởng triết học trong toán học (3)

Theo: talawas.org

Chú thích

(1) Năm tiên đề Euclid bao gồm: (E1) Giữa 2 điểm bất kỳ có thể kẻ được một đoạn thẳng; (E2) Có thể kéo dài [thẳng] bất kỳ đoạn thẳng nào; (E3) Có thể kẻ một đường tròn với tâm và bán kính cho trước bất kỳ; (E4) Mọi góc vuông đều bằng nhau; (E5) Nếu hai đường thẳng L1 và L2 nằm trong cùng một mặt phẳng cắt một đường thẳng L3 khác và nếu tổng của hai góc trong ở cùng một phía [giữa L1 và L3 và giữa L2 và L3] nhỏ hơn 180°, thì hai đường thẳng đó sẽ cắt nhau, nếu chúng được kéo đủ dài về phía mà tổng hai góc trên nhỏ hơn 180°. E5 chính là tiên đề về hai đường song song mà chúng ta có thể hiểu một cách trực giác là: hai đường thẳng song song thì không cắt nhau, dù được kéo dài bao nhiêu đi chăng nữa. Các bạn có thể tham khảo thêm tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate

Năm tiên đề của hình học Riemann (tức là hình học elliptic) bao gồm E1, E2, E3, E4 và E5’, trong đó E5’ có nội dung là: Trong một mặt phẳng, cho trước một đường thẳng L và một điểm P không nằm trên L. Thì không tồn tại một đường thẳng nào đi qua P mà song song với L. Hiểu nôm na thì E5’ phát biểu rằng hai đường thẳng bất kỳ cùng nằm trên một mặt phẳng trong [không gian elliptic] sẽ cắt nhau.

Năm tiên đề của hình học Lobachevski (tức là hình học hyperbol) bao gồm E1, E2, E3, E4, E5“, trong đó E5“ có nội dung là: Trong một mặt phẳng, cho trước một đường thẳng L và một điểm P không nằm trên L. Thì tồn tại ít nhất là 2 đường thẳng L1, L2 đi qua P và song song với L. E5“ hơi khó tưởng tượng. Các bạn quan tâm có thể xem hình sau để có hình dung cụ thể hơn: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Figure1.jpg

(2) Riemann sử dụng [bề] mặt hình cầu ba chiều trong hình học Euclid như là một mẫu của mặt [phẳng] hai chiều trong hình học elliptic. Ông coi một đường tròn lớn (ví dụ đường xích đạo) trên hình cầu đó là 1 đường thẳng [trong hình học elliptic] và một cặp điểm (tức 2 điểm) đối xứng nhau qua các đường tròn lớn đó là một điểm [trong hình học elliptic]. Khi đó, các tiên đề E1, E2, E3, E4, E5’ đều đúng trong hình học elliptic. Chẳng hạn E5’ đúng vì bất kỳ 2 đường tròn lớn nào trên mặt hình cầu cũng cắt nhau. Để dễ hình dung, các bạn có thể xem hình sau đây: http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/grosskreis.gif (Trong đó, 2 chấm đỏ được coi chỉ là một điểm trong hình học elliptic.)

Từ hệ tiên đề Euclid người ta có thể chứng minh rằng bề mặt của hình cầu ba chiều trong hình học Euclid chính là một mặt [phẳng] hai chiều trong hình học elliptic. Nghĩa là nếu hệ tiên đề của hình học elliptic có mâu thuẫn thì hệ tiên đề Euclid cũng có mâu thuẫn, và ngược lại.

(3) Cụ thể, Hilbert đã sử dụng ý tưởng về hệ toạ độ để làm việc này. Ông gán cho mỗi một điểm trong mặt phẳng Euclid với một cặp số – tức toạ độ (X,Y). Nhờ đó, bất kỳ đường thẳng hay đường tròn nào [trong hình học Euclid] cũng tương ứng với một phương trình đại số. Kết quả là các phát biểu trong hình học Euclid trở nên tương ứng mật thiết với các phát biểu trong đại số cơ sở.

(4) Thông tin trích từ trang 22, trong cuốn Giải tích (Analysis) của Wolfgang L. Wendland và Olaf Steinbach.

(5) Chẳng hạn – sự khám phá ra các đường cong liên tục nhưng bất khả vi toàn cục (continuously but non-differentiable curves). Ví dụ: hàm số Weierstrass. Xin xem thêm tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

(6) Tập số hữu tỉ Q := a/b | trong đó a và b là các số nguyên (thuộc tập Z) và b phải khác 0.

(7) Theo tôi được biết, Frege đã chỉ ra rằng dãy số tự nhiên có thể được kiến tạo khi áp dụng các thao tác của lý thuyết tập hợp vào tập rỗng, trong cuốn Nền tảng của số học (Grundlagen der Arithmetik) của ông [mà tôi lấy làm tiếc là chưa từng đọc]. Chỉ xin báo trước là người ta đã bỏ không dùng định nghĩa của Frege vì nó cho phép xuất hiện các nghịch luật. Ngày nay, trong toán học người ta sử dụng hệ tiên đề của Peano-Dedekind để định nghĩa dãy số tự nhiên như sau: (PD1) 0 là một số tự nhiên; (PD2) Với mỗi một số tự nhiên n, tồn tại đúng một đối tượng kế tiếp nó là n’ và n’ cũng là một số tự nhiên; (PD3) Không tồn tại số tự nhiên nào mà đối tượng kế tiếp nó là số 0; (PD4) Mỗi một số tự nhiên chỉ là đối tượng kế tiếp của nhiều nhất một số tự nhiên [khác]; (PD5) Trong tất cả các tập hợp M có chứa số 0 và với mỗi một số tự nhiên n [nó luôn luôn chứa] cả đối tượng kế tiếp n’ của n, thì tập hợp số tự nhiên là tập hợp nhỏ nhất. Tiên đề PD5 còn được gọi là tiên đề qui nạp. Nhờ nó người ta có thể công thức hoá các tiên đề Peano-Dedekind cho số tự nhiên như trong các sách toán học thường viết.

(8) Chẳng hạn với A là đàn ông còn B là người thì xét như là các tập hợp, ta có A là tập con của B, còn xét như là các mệnh đề luận lý thì ta có nếu x là A (đàn ông) thì x là B (người), hay nói cách khác: x là A kéo theo x là B.

(9) Qui luật về mâu thuẫn phát biểu nôm na như sau: không thể có chuyện cả A và phủ định [của] A cùng đúng. Ví dụ mệnh đề: tôi là người và tôi không phải là người sai. Trong bài, tôi chỉ đề cập đến qui luật về mâu thuẫn của luận lý học hình thức, chứ trong thực tế, theo thông tin tôi được biết, còn tồn tại các thuyết luận lý học khác mà qui luật về mâu thuẫn không có giá trị. Nhưng câu chuyện này cũng đi quá xa khỏi mục đích bài viết của tôi.

(10) Tập hợp của tất cả các tập hợp cũng là một trường hợp của dạng tập hợp M này, vì theo định nghĩa đó, nó tự động chứa chính nó [bởi nó cũng là một tập hợp]. Một ví dụ cụ thể nữa: tập hợp của tất cả các vật thể có thể được mô tả bằng mười chín chữ tiếng Việt – nếu chúng ta gọi tập hợp này là X thì bạn hãy thử đếm xem, ngoài tất cả các tập hợp được mô tả bằng mười chín chữ tiếng Việt, thì X cũng phải chứa chính nó, vì bản thân X cũng được mô tả – hay chính xác hơn là định nghĩa – bởi đúng mười chín chữ tiếng Việt.

(11) Chúng ta thử đọc kỹ lại định nghĩa của RM xem tại sao lại có mâu thuẫn kỳ quái này. Tôi xin cố gắng giải thích bằng lời như sau: nếu RM không chứa chính nó thì nó phải chứa chính nó [vì nó phải chứa tất cả các tập hợp không chứa chính nó]. Ngược lại, cũng theo định nghĩa của RM, nếu RM chứa chính nó [như một phần tử] thì nó không thể là phần tử của chính nó [vì phần tử này là một tập hợp chứa chính nó]. Tức là nó vừa không thể là một tập hợp dạng M vừa phải là một tập hợp dạng M.

Nói chung, các tập hợp mà chúng ta có thể gặp thường ngày đều không phải là những tập hợp chứa chính nó. Chẳng hạn, nếu chúng ta định nghĩa một tập hợp RM’ như sau: RM’ là tập hợp của ba tập hợp khác không chứa chính nó, thì RM’ không phải là một tập hợp dạng M, vì RM’ không [thể] chứa chính nó. Ví dụ cụ thể: RM’ := A, B, C thì dĩ nhiên là RM’ không chứa chính nó, nếu không, nó phải có dạng sau: RM’ = RM’, A, B, C (!).


View online : Chủ nghĩa Platon, chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa kết cấu