Hình trên: Chân dung Euclid do Justus van Ghent vẽ từ thế kỉ 15. Nhà toán học Hy Lạp Euclid sinh ở Athena, sống khoảng 330-275 trước Công nguyên nhưng làm việc chủ yếu ở tp Alexandria, Ai Cập

Nhà toán học là ai?

Đại đa số những người từng phát biểu về chủ đề này thống nhất với nhau rằng một nhà toán học điển hình là một người theo chủ nghĩa Platon trong những ngày thường và theo chủ nghĩa hình thức trong ngày chủ nhật. Điều này có nghĩa là khi anh ta làm toán, anh ta chắc rằng mình đang làm việc với một thực tế khách quan và cái anh ta tìm kiếm là những tính chất của nó. Nhưng nếu phải đưa ra một giải thích mang tính triết lý cho thực tế này, anh ta liền nhận ra sẽ là đơn giản hơn khi đành chấp nhận rằng rốt cục thì anh ta cũng không tin vào sự tồn tại của nó.

Dưới đây ý kiến của hai tác giả danh tiếng:

J.A. Dieudonné (1906-1992)

. „Cơ bản mà nói, chúng tôi tin vào thực tế của toán học, tuy nhiên nếu các nhà triết học tấn công chúng tôi về những nghịch lý của nó, chúng tôi đành phải nhanh chóng nấp đằng sau chủ nghĩa hình thức và nói rằng ‚toán học không là gì khác ngoài một tổ hợp của những biểu tượng vô nghĩa’,… Chừng nào người ta để yên cho chúng tôi, chúng tôi lại trở về với toán học của mình và vận hành nó như chúng tôi đã luôn làm thế, nghĩa là với cảm giác mà mọi nhà toán học đều có, rằng anh ta làm việc với một thực thể nào đó. Cảm giác này có lẽ là một ảo tưởng, nhưng là một ảo tưởng rất dễ chịu. Đó là lập trường của [nhóm] Bourbaki (1) đối với vấn đề nền tảng [toán học].” (J.A. Dieudonné, 1970, S.145).
. „Đối với một nhà toán học bình thường, người chỉ quan tâm đến việc liệu công việc của anh ta có được dựa trên một nền tảng chính xác, thì anh ta nên loại trừ những khó khăn liên quan tới chương trình Hilbert (2). Trong [chương trình] đó toán học được coi như một trò chơi hình thức và người ta chỉ chú tâm tới câu hỏi về tính phi mâu thuẫn [của các đối tượng toán học]… Quan điểm thực tế tính (tức quan điểm của chủ nghĩa Platon) có lẽ là quan điểm mà hầu hết các nhà toán học ưa chuộng. Chỉ khi anh ta phải đối mặt với một số khó khăn của lý thuyết tập hợp (3), anh ta mới thực sự phải đặt dấu hỏi cho quan điểm này. Nếu những khó khăn này phát triển vượt khỏi tầm với của mình, anh ta sẽ tự lùi vào trong vòng bao bọc của chủ nghĩa hình thức, trong khi quan điểm thường lệ của anh ta nằm ở đâu đó gần giữa - ở nơi mà anh ta cố gắng lợi dụng được những ưu điểm của cả hai thế giới (tức hai chủ nghĩa) này.” (P.J. Cohen, Axiomatic Set Theory, ed. D. Scott).

Paul Cohen (1934-2007)

Trong hai đoạn trích của Dieudonné và Cohen ở trên, khái niệm „chủ nghĩa hình thức” được hiểu như là quan điểm triết học cho rằng một phần lớn hoặc toàn thể toán học thuần túy là một trò chơi không có nội dung. Nhưng cần phải nói rằng chính các nhà logic, chính những người mà công việc toán học của họ nằm ở việc nghiên cứu các hệ thống hình thức, là những người hiểu và có tư cách nhất trong việc tán thưởng sự khác biệt to lớn giữa toán học - như là nó thực sự được vận hành, và toán học - như là nó được hệ thống hoá bởi một hệ thống toán học hình thức.

Monk phát biểu rằng dân số của thế giới toán học bao gồm 65% là người theo chủ nghĩa Platon, 35% là các nhà hình thức và 5% là những nhà kết cấu. Tuy nhiên người ta cho rằng bức tranh mà Dieudonné và Cohen đưa ra gần với thực tế hơn. Một nhà toán học điển hình vừa là một người theo chủ nghĩa Platon vừa là một nhà hình thức - một người theo chủ nghĩa Platon dấu mặt bằng một chiếc mặt nạ hình thức, mà mỗi khi cần anh ta mới dùng đến.

Huyền thoại Euclid

Cái gì là huyền thoại Euclid? Đó là niềm tin rằng tập tác phẩm Nguyên tố của Euclid ghi chép những sự thật rõ ràng và không thể nghi ngờ về vũ trụ. Thực ra, nội dung của tác phẩm này là tổng hợp tri thức toán học của Hy Lạp cổ đại, chứ không phải là những nghiên cứu của riêng Euclid, nhưng Euclid đã có công rất lớn trong việc xây dựng và phát triển những thành quả toán học đó thành một hệ thống với phương pháp luận khoa học. Từ những sự thật hiển nhiên, Euclid sử dụng những chứng minh chặt chẽ để đạt được những tri thức khách quan và vĩnh cửu. Cho đến giữa thế kỷ 19, huyền thoại này vẫn là bất khả xâm phạm và hầu như tất cả đều tin vào tính xác thực tuyệt đối của nó. Nó cũng là điểm tựa chính cho triết học siêu hình đi tìm chân lý tiên nghiệm về tự nhiên và vũ trụ.

Platon

Các triết gia Hy Lạp cổ đại như Platon coi toán học đồng nghĩa với hình học. Hình học đóng một vai trò quyết định trong thế giới quan của Platon và do đó Nguyên tố mang trong mình nền tảng của thế giới quan Platon.

Đối với Platon nhiệm vụ của triết học là khám phá sự thật đằng sau những ảnh tượng của thế giới và ảo tưởng về nó. Toán học chiếm một vị trí quan trọng trong tiến trình này bởi lẽ tri thức toán học là một ví dụ tuyệt hảo về một tri thức độc lập đối với kinh nghiệm giác quan, tức là một tri thức về những sự thật vĩnh cửu và chắc chắn.

Trong tác phẩm Menon của Platon, Socrates đã hỏi một người nô lệ trẻ tuổi và dẫn dắt anh ta [tự đi] đến một khám phá rằng diện tích của hình vuông ABCD lớn gấp đôi diện tích hình vuông EFGH, trong đó E, F, G, H lần lượt là 4 trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tại sao anh chàng nô lệ này lại biết được điều đó? Socrates đã lập luận rằng bởi vì không phải chàng trai đã học được điều này trong cuộc đời của anh ta, nên tri thức này phải là một ký ức từ một kiếp trước của anh ta. Đối với Platon thì ví dụ trên chỉ ra rằng có tồn tại một cái gì đó là tri thức thực sự - một tri thức vĩnh cửu. Ông khẳng định như sau:

1. Chúng ta có kiến thức về những sự thật hình học mà chúng ta chưa từng được học trong trường cũng như như trong kinh nghiệm.

2. Tri thức này là một ví dụ về những sự thật tổng quát bất biến mà chúng ta có thể tri giác và nhận thức được thực sự.

3. [Hai điều trên dẫn tới] Phải tồn tại một khu vực những sự thật tuyệt đối và bất biến - là nguồn và nền tảng cho tri thức của chúng ta về cái thiện. (4)

Leibniz

Hình học cũng đóng một vai trò tương tự đối với các nhà duy lý như đối với Platon. Sự tồn tại của các đối tượng toán học (tức là các vật thể lý tưởng) trong một thế giới hình thái (5), độc lập với linh hồn của con người, không phải là vấn đề đối với Newton hay Leibniz (6). Nhưng khó khăn nằm ở chỗ hợp lý hoá sự tồn tại những vật thể vật chất thông thường, không lý tưởng (7). Đây lại là thành quả của chủ nghĩa thực nghiệm. Nhờ vào những tiến bộ của khoa học tự nhiên dựa trên nền tảng là những phương pháp thí nghiệm, chủ nghĩa thực nghiệm đã đánh bại chủ nghĩa duy lý. Do đó, niềm tin vào một vũ trụ vật chất như là thực tế cơ sở trở thành cách nhìn phổ cập. Thí nghiệm và quan sát trở thành những công cụ duy nhất được chấp nhận để thu thập tri thức.

Các nhà thực nghiệm quan niệm rằng mọi tri thức, ngoại trừ tri thức toán học, đều được rút ra từ những quan sát. Nhìn chung, họ không tìm cách giải thích người ta có được tri thức toán học như thế nào, mà đồng ý với những nhà duy lý rằng các tri thức hình học không gây ra vấn đề gì, kể cả khi mọi tri thức khác có vấn đề.

John Stuart Mill (1806-1873)

Trường hợp ngoại lệ là J.S. Mill. Mill đưa ra một lý thuyết thực nghiệm về tri thức toán học trong đó toán học được coi như là một ngành khoa học tự nhiên như những ngành khác. Mill lý luận: chẳng hạn chúng ta biết „1 + 1 = 2″ là bởi vì chúng ta có thể quan sát được rằng nếu chúng ta thêm vào một nhóm có sẵn 1 khuy áo một nhóm khác gồm 1 khuy áo thì chúng ta nhận được 2 khuy áo.

Trong cuốn Những qui luật nền tảng của số học G. Frege đã phủ định Mill. Ông lập luận rằng bản thân số 1 không thực sự tồn tại như một cái khuy áo và nếu nói anh có số 1, tôi cũng có số 1 thì số 1 của anh với số 1 của tôi rất có thể là hai đối tượng hoàn toàn khác nhau. Việc nghiên cứu số 1 lý tưởng (số 1 toán học) cũng khó y như là người ta nghiên cứu mặt trăng nhờ những quan sát tâm lý. Hơn thế nữa, cho dù trong đầu mỗi người đều có một hình dung về số 1 thì số 1 này vẫn khác xa số 1 lý tưởng như thể hình dung về mặt trăng so với mặt trăng thực sự (8).

Các nhà duy lý coi toán học như là ví dụ tốt nhất công nhận cho thế giới quan của mình. Đây có lẽ cũng là chút ánh sáng cuối cùng mà chủ nghĩa duy lý để lại (9). Nhưng đối với các nhà thực nghiệm thì nó là một phản ví dụ đáng xấu hổ cần được lờ đi. Bởi vì nếu toán học chứa đựng tri thức độc lập với kinh nghiệm giác quan, thì chủ nghĩa thực nghiệm, với tư cách là sự giải thích cho mọi tri thức của con người, là không đầy đủ. Vấn đề này vẫn tồn tại cho tới ngày nay và cũng là một nguồn gốc của những khó khăn mà chúng ta gặp phải khi bàn về triết học của toán học.

G. Frege

Từ cách nhìn của các nhà khoa học hiện đại thì sự phổ cập rộng rãi của chủ nghĩa Platon như một triết lý làm việc phi hình thức và nhẫn nại âm thầm là một ngoại lệ. Những tiên đề được chấp nhận tổng quát trong khoa học ngày nay bao gồm chủ nghĩa duy vật khi vấn đề liên quan tới bản thể luận và chủ nghĩa thực nghiệm trong nhận thức luận. Điều đó có nghĩa là: thế giới bắt nguồn từ vật chất và được nghiên cứu bởi ngành vật lý; khi cấu tạo của vật chất này
đủ phức tạp thì nó trở thành đối tượng nghiên cứu của những ngành khoa học đặc thù như hoá học, sinh học hay địa chất. Chúng ta kinh nghiệm được một cái gì đó về thế giới khi chúng ta quan sát nó và suy ngẫm về những gì quan sát được. Nếu ban đầu chúng ta không quan sát thì chúng ta không có bất cứ cái gì trong tay để có thể suy ngẫm về nó. Ngược lại, chúng ta có trong toán học những trí thức về các vật thể mà chúng ta chưa và không bao giờ thật sự quan sát được. Đây tối thiểu cũng là những quan điểm ngây thơ mà người ta chấp nhận ngày nay nếu như chúng ta không thử tìm cách triết lý.

Xem tiếp Cuộc khủng hoảng nền tảng toán học

Nguyễn Khánh Hưng

Theo: talawas.org

Chú thích

(1) Bourbaki là tên gọi chung của một nhóm các nhà toán học người Pháp có ảnh hưởng sâu rộng đối với toán học thế kỷ 20.

(2) Chương trình Hilbert sẽ được giới thiệu trong phần III. Đây là một chương trình được khởi xướng bởi nhà toán học người Đức David Hilbert trong thể kỷ 20 - thuộc khuôn khổ của trào lưu hình thức. Các bạn có thể tham khảo thêm trên Wikipedia.

(3) Lý thuyết tập hợp được đưa ra bởi Cantor trong thế kỷ 19 sẽ được giới thiệu kỹ hơn trong phần III. Các bạn có thể tham khảo thêm trên Wikipedia.

(4) Cái thiện là một hình thái - chính xác là hình thái cao nhất trong thuyết hình thái (Ideenlehre/Theory of forms) của Platon. Các bạn có thể tìm đọc sơ lược về thuyết hình thái trong các cuốn sách giới thiệu triết học được nhiều người biết tới như Lịch sử triết học phương Tây (History of western philosophy) của B. Russell hay Những triết gia lớn (Die grossen Philosophen) của Karl Jasper hoặc đơn giản là tra trên Google.

(5) Xin xem (4).

(6) Thế giới quan thông qua hình học của Platon cũng đóng một vai trò tương tự đối với các nhà duy lý như Spinoza, Descartes và Leibniz. Cũng như Platon, các nhà duy lý coi năng lực tư duy như là một khả năng bẩm sinh của linh hồn con người và nhờ nó mà chúng ta có thể nhận thức được các sự thật tiên nghiệm, độc lập với quan sát. „Tôi có thể nhầm lẫn khi tôi tin rằng tôi đang ngồi bên chiếc bàn của mình và viết câu này; và tôi chắc là cũng đang nhầm lẫn khi tin rằng ngày mai mặt trời sẽ mọc; nhưng tôi biết chắc chắn rằng tổng của ba góc trong một tam giác là 180°”. (Euclid). Câu nói này của Euclid là ví dụ yêu thích của Spinoza về một mệnh đề đúng không thể nghi ngờ. (Tuy nhiên, mệnh đề này sai trong hình học phi Euclid!) Tư duy là năng lực giúp cho con người nhận thức được cái thiện và thượng đế; và người ta có thể nhận thấy sự tồn tại của khả năng này rõ nhất trong toán học. Như đã nói, toán học đi từ những sự thật hiển nhiên và khám phá ra những sự thật ẩn dấu nhờ những suy luận kỹ càng. Những sự thật trong hình học có hình dạng lý tưởng về mặt nội dung vì chúng tồn tại một cách hiển nhiên trong nhận thức của chúng ta, cho nên đặt dấu hỏi cho sự tồn tại của chúng rất có thể là dấu hiệu của sự bất tri hoặc điên rồ. Toán học và tôn giáo là những ví dụ điển hình cho những tri thức đạt được từ tư duy. Nhận thức về cái thiện của Platon trở thành nhận thức về thượng đế trong suy nghĩ của các nhà duy lý. Với tư cách là những tín đồ Thiên Chúa giáo, Newton hay Leibniz hiển nhiên công nhận sự tồn tại của một linh hồn thượng đế.

(7) Theo thuyết hình thái của Platon thì các vật thể vật chất thông thường, chẳng hạn một cái ghế không thật sự tồn tại. Nó chỉ là ảnh tượng của hình thái cái ghế. Xin xem thêm (4).

(8) Frege viết: „ .. Die Zahl Eins z. B. wird man nicht leicht für wirklich halten, wenn man nicht Anhänger von J. St. Mill ist. Andrerseits ist es unmöglich, jedem Menschen seine eigne Eins zuzuweisen; denn dann müsste erst untersucht werden, wie weit die Eigenschaften dieser Einsen übereinstimmten. Und wenn der Eine sagte „einmal Eins ist Eins” und der Andere „einmal Eins ist Zwei”, so könnte man nur die Verschiedenheit feststellen und sagen: deine Eins hat jene Eigenschaft, meine diese. Von einem Streite, wer Recht hätte, oder von einem Belehrungsversuche könnte nicht die Rede sein; denn dazu fehlte die Gemeinsamkeit des Gegenstandes. Offenbar ist dies dem Sinne des Wortes „Eins” und dem Sinne des Satzes „einmal Eins ist Eins” ganz zuwider. Da die Eins, als dieselbe für Alle, Allen in gleicher Weise gegenübersteht, kann sie ebensowenig wie der Mond durch psychologische Beobachtung erforscht werden. Mag es immerhin Vorstellungen von der Eins in den einzelnen Seelen geben, so sind diese doch von der Eins ebenso zu unterscheiden wie die Vorstellungen des Mondes von dem Monde selbst. ..” Tuy vậy, cũng phải nói thêm rằng lập luận của Frege có thể dùng để phủ định lý thuyết của chính ông. Nhưng đây là một vấn đề vượt xa khỏi tầm với của bài viết này.

(9) Xin nói thêm một chút. Kant đã tìm cách thống nhất hai trào lưu có truyền thống mâu thuẫn là chủ nghĩa duy lý và chủ nghĩa thực nghiệm. Triết học siêu hình của ông là một sự kế thừa Platon và tiếp tục phát triển nó, mà trong đó ông đi tìm sự chắc chắn cũng như tính phi thời gian của nhận thức con người. Kant phân biệt vật-tự-nó (Noumena) - thứ chúng ta không bao giờ có thể nhận thức được, với ảnh tượng (Phaenomena) - thứ chúng ta có thể kinh nghiệm được thông qua giác quan. Tuy nhiên trọng tâm mà ông để mắt tới vẫn là tri thức tiên nghiệm (a priori) - thứ phi thời tính và độc lập với kinh nghiệm. Ông lại phân biệt hai dạng tri thức tiên nghiệm là tri thức tiên nghiệm phân tích (analytische Apriori) và tri thức tiên nghiệm tổng hợp (synthetische Apriori). Tri thức tiên nghiệm phân tích là cái mà chúng ta nhận thức là thật/đúng thông qua phân tích luận lý (logik), thông qua ý nghĩa thực sự của những câu được sử dụng (verwendete Ausdrücke). Giống như các nhà duy lý, Kant tin rằng chúng ta còn có tri thức tiên nghiệm tổng hợp và tri thức tiên nghiệm tổng hợp không chỉ đơn giản là những sự thật luận lý thô thiển (logische Binsenwahrheit). Đối với Kant thì trực giác của chúng ta về không và thời gian là những tri thức dạng này. Ông giải thích tự nhiên tiên nghiệm của chúng bằng khẳng định rằng những trực giác này là những thuộc tính nội tại của linh hồn con người. Tri thức của chúng ta về thời gian được hệ thống thông qua số học, tức là dựa trên cơ sở của trực giác về sự nối đuôi nhau (Aufeinanderfolgen). Nhận thức của chúng ta về không gian lại được hệ thống nhờ vào hình học; và cũng như Platon, hình học Euclid là hình học duy nhất mà Kant chấp nhận. (Từ giữa thế kỷ 19 trở đi, người ta khám phá ra nhiều hình học khác hình học Euclid!). Những sự thật về số học và hình học là hiển nhiên đối với chúng ta thông qua cách thức giác tính (Verstand) của chúng ta vận hành; điều này giải thích tại sao chúng độc lập với kinh nghiệm, tức là đúng với bất kỳ người nào. Những trực giác về không và thời gian, dựa trên nền tảng là số học và hình học, là khách quan theo ý rằng chúng có tính đúng phổ quát (allgemeine Gültigkeit) đối với mỗi một linh hồn con người. Như vậy, huyền thoại Euclid cũng là một nguyên tố trung tâm trong triết học Kant và triết học Kant về tiên nghiệm có ảnh hưởng không nhỏ đến triết học trong toán học cho tới tận thế kỷ 20. Tuy nhiên, trong thế kỷ 20 thì tư tưởng tiên nghiệm của Kant về không và thời gian đã trở thành lỗi thời và bị phủ định. Các bạn quan tâm đến chủ đề này có thể tìm đọc kỹ hơn trong cuốn Triết học của các nhà vật lý (Die Philosophie der Physiker) của Erhard Scheibe.