Quick browsing

Home > Nghệ thuật > Kiến trúc > Topology và kiến trúc ngày nay

Topology và kiến trúc ngày nay

Sunday 1 July 2007

Năm 2002, tại triển lãm kiến trúc được tổ chức hai năm một lần ở Venice (Ý), người ta chú ý đến công trình “Bảo tàng thế giới Hy lạp” của nhóm các nhà kiến trúc Nikos Georgiadis, Tota Mamalaki, Kostas Kakoyiannis và Vaios Zitounolis, thường gọi là nhóm kì dị. Công trình nhấn mạnh đến không gian của cấu trúc. Nó là một không gian mở và liên tục nhờ những đường cong xoắn ốc và giữa trung tâm của đường cong là trái tim của thời văn minh cổ điển Hy lạp. Công trình này dường như nhằm để cho người ta thấy cả một thời đại, suốt từ buổi đầu cho đến ngày kết thúc, khởi từ hình học Euclid từ hàng ngàn năm trước. Hình học Euclid cùng với triết học Platon chính là nền tảng của văn minh phương tây suốt hai ngàn năm qua.

I. Không gian và toán học

Vào những năm 1830-1850, Lobacevskij và Bolya đã đưa ra những ví dụ đầu tiên về hình học phi Euclid, ở đó định đề nổi tiếng thứ năm của Euclid về hai đường thẳng song song không cắt nhau trở nên mất hiệu lực, nghĩa là có thể cắt nhau cũng được. Không phải hết nghi ngờ và lo ngại, Lobasevskij đã gọi hình học của ông là thứ hình học tưởng tượng (ngày nay gọi là hình học hyperbolic phi Euclid), nó quá trái với cảm giác chung của mọi người và bị xếp bên lề của môn hình học suốt nhiều năm. Mãi đến năm 1854, hình học phi Euclid trở thành một phần không thể thiếu được của hình học nhờ kết quả kiệt xuất của Rieman (1826-1866) công bố tại đại học Gottingen: “Giả thiết về cơ sở của hình học”, Ông đã coi hình học là môn nghiên cứu sự biến đổi trong bất kỳ loại không gian nào, bất kỳ số chiều nào. Đối với Rieman hình học không nhất thiết phải liên hệ với điểm hay không gian như cảm giác thông thường mà thực ra chỉ cần một bộ n trục.

JPEG - 6.3 kb
Frank O. Ghery: bảo tàng Guggenheim mới tại Manhattan

Felix Klein (1849-1925), giáo sư hình học của đại học Erlangen, thì nói rằng hình học như bộ môn nghiên cứu các đặc trưng bất biến của hình dạng đối với một số nhóm các phép biến đổi. Và đối với mỗi lớp nhóm biến đổi cụ thể sẽ cho ra một môn hình học khác. Ví dụ, hình học phẳng Euclid là môn nghiên cứu các đặc tính bất biến của hình dạng trên mặt phẳng qua nhóm các phép biến đổi hạn hẹp chỉ gồm phép tịnh tiến và phép quay.

Ngày ra đời của một ngành toán học mới, mà ngày nay ta gọi là topology, được coi là ngày mà Poincaré cho xuất bản công trình “Giải tích về vị trí (nơi chốn)” năm 1895. Ông nói “Qua nhiều nghiên cứu khác nhau đã buộc tôi phải giải tích hóa khái niệm vị trí của toán học. Topology là một khoa học về sự hiểu biết các tính chất quan trọng của một hình dạng hình học không chỉ trong không gian bình thường (vẽ ra được) mà còn cả trong không gian có số chiều lớn hơn 3.

Thêm nữa, hình học cho các hệ thống phức tạp, hình học phân mảnh (fractals), lý thuyết hỗn độn và khá thú vị là các hình dạng “toán học” được các nhà toán học vẽ ra bằng máy tính suốt 30 năm qua đã cho chúng ta thấy rõ rằng toán học đã có vai trò khổng lồ trong việc làm thay đổi nhận thức về không gian, cả không gian mà chúng ta đang sống trong nó và cả chính ý niệm không gian.

Tuy nhiên, đặc biệt hấp dẫn có lẽ là Topology – khoa học của sự biến dạng. Topology đã ảnh hưởng to lớn đến kiến trúc hiện đại. Hãy xem dưới đây một công trình được coi là rất “topology”

II. Topo, topology, topology trừu tượng toán học

II.1. Topo:

Trong thuật hùng biện cổ điển, các dẫn chứng, biện bác thường lấy từ những nguồn thông tin khác nhau, các nhà hùng biện gọi những nguồn đó là topoi (số ít là topo, nghĩa gốc tiếng Hy lạp là “những vị trí, nơi chốn để tìm kiếm cái gì đó”). Topoi được phân loại (phạm trù) để trợ giúp cho việc mô tả các mối liên hệ giữa các ý tưởng. Aritotle chia topoi thành hai nhóm: nhóm chung và nhóm đặc thù.

Nhóm chung có những phạm trù (phân loại) như: Luật, bằng chứng- nhân chứng, giao kèo - thỏa thuận, lời thề - nguyền rủa, các so sánh về sự tương tự, sự khác biệt hay mức độ, các định danh của vật, sự phân chia vật (toàn vẹn hay một phần), nguyên nhân và hậu quả và những gì có thể phân tích đươc, nghiên cứu được hay văn bản hóa được. Nhóm đặc thù bao gồm các khái niệm như công bằng, bất công, đức hạnh, lòng tốt, sự kính trọng.

Tóm lại, các topo theo cách hiểu của các nhà hùng biện xưa là các vùng thông tin được phân loại thành những tập hợp riêng biệt (chú ý phân tử của tập hợp này cũng là dạng tập hợp (vùng)) nhưng có tương tác, liên hệ với nhau để làm rõ các ý tưởng cần hùng biện.

II.2. Topology:

Nghĩa gốc trong tiếng Hy lạp là ghép của 2 từ Topoi (nơi, chỗ) và Logos (nghiên cứu). Topology là khoa học nghiên cứu về topoi. Tùy theo ngành mà khái niệm topology được giải thích cụ thể hơn. Chẳng hạn, trong khoa học trái đất thì topology nghĩa là khoa nghiên cứu về vị trí về các vùng lãnh thổ; trong mạng máy tính có nghĩa là hình dạng kết nối các máy tính; Trong hệ thống thông tin địa lý (GIS), topology dùng để chỉ biên giới giữa hai vùng đất liền kề; trong khoa học bản đồ thì bản đồ topology là loại bản đồ đơn giản nhất, nó chỉ còn giữ lại các hình dung toán học và bỏ qua thước đo (rộng, hẹp, to, nhỏ, xa, gần), hình dạng cụ thể; Còn trong kiến trúc, topology là từ được dùng để mô tả các hiệu ứng không gian không thể vẽ được như các tương tác giữa xã hội, kinh tế, không gian hay các hiện tượng...

II.3. Topology thuần toán:

II.3.1. Topology:

Topology là một ngành của toán học, nó là sự mở rộng của hình học. Trước tiên, topology xem xét bản chất của khái niệm không gian, khảo sát cả cấu trúc tinh vi và cả cấu trúc tổng thể của không gian. Topology phát triển dựa trên nền tảng Lý thuyết tập hợp (cả loại tập điểm và loại họ các tập).

Chữ topology, bây giờ, trong toán học, được hiểu theo hai nghĩa: (1) dùng chỉ hoạt động nghiên cứu (toán), (2) dùng chỉ trực tiếp một họ tập hợp với một số tính chất cụ thể tạo ra khái niệm không gian topology (topo học). Kể từ khi nguyên lý đầu tiên được phát hiện cho đến cuối thế kỷ 19, topology vẫn được gọi là Hình học về nơi chỗ (geometry of place) và giải tích về nơi chỗ (analysis of place). Từ 1925 cho đến 1975, topology là lĩnh vực phát triển quan trọng của toán học.

Topology được chia thành những lĩnh vực: Lý thuyết tập điểm – khảo sát các khái niệm: tính compact (đặc, xốp), tính liên thông, tính đếm được; Topo đại số - khảo sát các khái niệm: đồng nhất, đồng đẳng; và Lý thuyết nút thắt (knot theory).

JPEG - 9.8 kb
Bảy cây cầu ở Konigsberg

Bảy cây cầu ở Konigsberg được coi là bài toán topology đầu tiên do Leonhard Euler đề xuất năm 1736. Topology hiện đại phụ thuộc mạnh vào lý thuyết tập hợp do Cantor phát triển cuối thế kỷ 19. Đối với ông các tập điểm trong không gian Euclid chỉ là một phần của dãy Fourier.

Bản chất sâu xa của topology phát nguồn từ một số bài toán hình học không phụ thuộc vào hình dạng chính xác của các vật thể cần khảo sát mà chủ yếu quan tâm đến cách chúng được sắp đặt với nhau. Ví dụ đường vuông và đường tròn có nhiều tính chất chung: chúng là những vật thể một chiều, chúng chia mặt phẳng thành 2 phần, phần trong và phần ngoài.

Quay trở lại bài toán bảy cây cầu để thấy rõ ý niệm trên. Euler đặt bài toán: Liệu có thể có một cách đi nào để đi qua 7 cây cầu đó mà không phải đi lặp lại một cây cầu nào (mỗi cầu chỉ qua một lần)? Rõ ràng khảo sát loại bài toán này thì không cần quan tâm cầu ngắn hay dài, khoảng cách giữa chúng là bao nhiêu, mà chỉ cần xem xét tính liên thông giữa chúng, nghĩa là cầu nào nối với các bờ nào, đảo nào. Bài toán nổi tiếng này giờ đây được coi là khởi thủy của bộ môn Lý thuyết đồ thị.

Tương tự, định lý quả cầu lông trong topo đại số phát biểu: “Người ta không thể chải tóc trên cái đầu hói nhẵn”. Tựa như bài toán bảy cây cầu, kết quả định lý này không phụ thuộc vào hình dạng chính xác của quả cầu, nó có thể là quả lê hay hình gì đó như giọt nước, miễn là bề mặt nó nhẵn và không có lỗ (nghĩa là tồn tại trường liên tục các vectơ đạo hàm).

Để có thể làm việc với các bài toán không phụ thuộc vào hình dạng cụ thể của đối tượng, người ta cần làm rõ: Vậy thì đâu là những tính chất còn lại mà đối tượng phụ thuộc vào. Điều này dẫn tới ý niệm Tương đương topo. Tính chất không thể đi một lần qua 7 cây cầu của bài toán trên được ứng dụng cho bất cứ một bộ cầu nào có tương đương topo với chúng. Định lý quả cầu lông được áp dụng cho bất cứ bề mặt nào có tương đương topo với mặt cầu.

Để dễ hình dung, người ta nói hai không gian là tương đương topo nếu chúng có thể biến đổi qua nhau mà không bị cắt hoặc dán. Ví dụ một cái ca có quai và một cái lốp ô tô đặc (hình xuyến) có chất liệu dễ uốn nặn là tương đương topo vì người ta có thể biến đổi cái lốp bằng cách nặn nó thành cái ca theo lối làm lõm thân lốp rồi dàn rộng ra thành miệng ca, lỗ tròn của lốp thành quai ca (không cần động tác cắt hay dán).

II.3.2. Một định nghĩa toán học về topology

Cho X là tập bất kỳ, T là họ các tập con của X. Khi đó T sẽ được gọi là một topology trên X khi và chỉ khi:
— 1. Cả tập rỗng và cả X đều là phần tử thuộc họ T
— 2. Hợp bất kỳ (kể cả hợp vô hạn) các tập con của T thuộc T
— 3. Giao hữu hạn các tập con của T thuộc T.

Một tập thuộc họ T như vậy gọi là tập mở. Phần bù của tập thuộc T (X\T) gọi là tập đóng. Nếu một tập không thuộc T và phần bù của nó cũng không thuộc T thì tập đó được gọi là tập không đóng mà cũng không mở. Tập X với trang bị Topology trên gọi là không gian topology.

Không gian topology là các cấu trúc cho phép người ta công thức hóa các khái niệm: hội tụ, liên thông, liên tục. Các cấu trúc topo xuất hiện dường như rất tự nhiên trong tất cả các ngành của toán học hiện đại và là một ý niệm trung tâm thống nhất. Ngành toán học nào có nghiên cứu không gian topo học thì đều được gọi là topology.

Một hàm hay ánh xạ từ không gian topology (topo học) đến không gian topology khác được gọi là liên tục nếu nghịch ảnh của tập mở là tập mở. Nếu ánh xạ là một hàm số (từ số thực vào số thực) thì định nghĩa này tương đương định nghĩa thông thường về hàm số liên tục. Một song ánh liên tục và hàm ngược của nó cũng liên tục thì được gọi là một ánh xạ đồng dạng.
Hai không gian được gọi là đồng dạng nếu chúng có những tính chất topology giống nhau. Khi đó hai không gian này được coi là như nhau. Ví dụ đường vuông và đường tròn được coi là đồng dạng topo, cái ca có quai và bánh lốp đặc của ô tô cũng vậy. Nhưng đường tròn và bánh lốp thì không.

Nói chung, người ta phải dùng đến công cụ topology khi ý niệm về “tập các điểm” không dùng được. Thay vì tập điểm người ta dùng khái niệm giàn “các tập mở”.

III. Từ Topology đến Kiến trúc hiện đại

III.1. Topology và bề mặt kiến trúc

Từ giữa thế kỷ 19 hình học bắt đầu phát triển theo một đường hướng hoàn toàn khác trước và nhanh chóng đóng vai trò to lớn trong toán học hiện đại. Đường hướng mới này có tên là topology, ngành toán học nghiên cứu các tính chất còn được bảo toàn của các hình dạng hình học sau tác động của các phép biến đổi, thậm chí các phép biến đổi “nặng” đến nỗi hình dạng bị mất luôn các đặc tính đo được (thước mét, gần xa), chiếu được (hình chiếu) và định hướng của nó. Nghĩa là hình dạng chỉ giữ lại được các tính chất định lượng của nó mà thôi.

Năm 1858 nhà toán học và thiên văn học August Ferdinand Moebius (1790-1868) lần đầu tiên, tại Viện hàn lâm khoa học Paris, mô tả một bề mặt mới trong không gian 3 chiều, mà ngày nay chúng ta gọi là mặt Moebius. Ông đã tạo ra một bề mặt mới bằng phép biến đổi xoắn 180° theo trục dài của băng giấy chữ nhật rồi nối hai đầu lại với nhau. Qua phép biến đổi này tính chất của băng giấy chữ nhật đã bị biến đổi rất sâu sắc, khác hẳn với việc chắp hai đầu băng mà không xoắn (thành hình trụ). Dải Moebius chỉ còn một mặt và một bờ, nghĩa là con kiến bò từ mặt này qua mặt kia không cần phải vượt qua biên, không còn khái niệm mặt trong, mặt ngoài, biên trên, biên dưới như hình trụ. Đơn giản như vậy nhưng nó lại có giá trị quan trọng theo quan điểm topology: Mặt Moebius là ví dụ đầu tiên về một loại bề mặt mà trên đó người ta không còn xác định được phương hướng.

Trước hết, phương pháp mới được dùng trong lĩnh vực hình học mới này không còn cho phép các nhà toán học trình bày kết quả của họ theo lối suy diễn của hình học cơ sở. Thay vào đó, các nhà topo tiên phong, chẳng hạn Poincar, buộc phải dựa phần lớn vào trực giác hình học của chính mình. Thậm chí, cho đến ngày nay, các nhà Topo học vẫn nhận xét rằng nếu quá ràng buộc vào các công thức biểu diễn chặt chẽ toán học sẽ dễ làm mất đi cảnh tượng hình học cốt yếu của hàng loạt chi tiết quan trọng.

Có một từ ngữ cần để ý là “trực giác hình học”. Dĩ nhiên, các nhà toán học vẫn cố gắng không ngừng để làm cho topology ngày càng được trình bày dưới dạng thức toán học chặt chẽ hơn (tính toán được, suy luận được), nhưng khía cạnh trực giác vẫn còn. Chính xác là, suốt từ thế kỷ 19 cho đến nay, toán học hóa topo và trực giác topo thể hiện ở hai khía cạnh: phần toán là nghiên cứu các phép biến đổi (ánh xạ) có thể bảo toàn được một số tính chất cuả hình dạng hình học. Phần trực giác thì đóng một vai trò sâu sắc trong ý tưởng không gian và hình dạng.

Trong nhiều thập niên vừa qua, nhiều ý tưởng topology đã được các họa sỹ và kiến trúc sư áp dụng, trước là các họa sĩ, sau mới đến các kiến trúc sư. Tại sao các kiến trúc sư lại đi sau các họa sĩ về chuyện này? Đơn giản là vì họ phải đợi đến ngày máy tính đồ họa được dùng rộng rãi. Có máy tính đồ họa, các kiến trúc sư mới hiển thị ra đuợc các đối tượng toán học cái mà các nhà kiến trúc, không phải là người làm toán, rất khó thực hành mặc dầu nó vô cùng cần thiết cho các gợi ý thiết kế.

III.2. Quan niệm topology của các nhà kiến trúc

Đây là cách nhìn nhận về topology của các nhà kiến trúc: “Topology là nghiên cứu về sự ứng xử của các cấu trúc bề mặt chịu sự biến dạng. Bề mặt ghi dấu các thay đổi biến phân theo không - thời gian một cách liên tục. Chính sự nghiên cứu này đã đem lại một tiềm năng to lớn cho ngành biến dạng kiến trúc. Sự biến dạng liên tục của bề mặt có thể đưa tới sự tương giao giữa các mặt phẳng trong và ngoài trong trạng huống biến đổi hình thái học một cách liên tục. Mặt Moebius là một ví dụ. Các nhà thiết kế đã ứng dụng dạng topology này vào phác thảo xây dựng bằng cách biến các trường vi phân không - thời gian (các mặt phẳng tiếp tuyến) thành một cấu trúc tĩnh khác.”(4)

Tất nhiên một số từ và ý tưởng đã biến nghĩa khi chuyển từ mặt phẳng vi phân nghĩa toán học sang nghĩa của kiến trúc và cảm hứng nghệ thuật. Nhưng điều quan trọng là cảm hứng được bắt nguồn từ topology. Máy tính đồ họa đã đóng vai trò không thể thay thế trong chuyện này. Nó giúp các nhà thiết kế đưa được sự biến dạng của thời gian vào phác thảo, điều mà phi máy tính ra thì không có cách nào nắm bắt hay thậm chí thấu hiểu được.

JPEG - 13.7 kb
Ben van Berkel & Bos, 1993-97: nhà Moebius, UN

Imperiale bình luận: “Ngôi nhà của Van Berkel được lấy cảm hứng từ mặt Moebius. Nó được tưởng tượng như là một cấu trúc liên tục có quy hoạch bao gồm sự biến đổi qua nhau của cặp phạm trù: từ bên trong đến bên ngoài, từ nơi làm việc đến nơi nghỉ ngơi, từ cấu trúc chịu lực đến cấu trúc không chịu lực.” (2)

Klein Bottle: “Ngôi nhà của Van Berkel có thể được diễn dịch như là một hệ thống kênh chuyển, nó gắn kết trên đó các thành tố rồi kết tụ chúng thành một dạng mới có tổ chức nguyên và liên thông trong. Cần nhớ rằng chữ “nguyên” và “Liên thông trong” có ý nghĩa chính xác trong toán học. Nhưng sự chặt chẽ toán học không thành vấn đề ở đây, bởi vì sơ đồ các mặt toplology chỉ giúp cho nhà kiến trúc tưởng tượng để có thể đưa ý tưởng vi phân không - thời gian vào kiến trúc 3 chiều.”

Đồng thời, Peiter Einsenman cũng thiết kế “Nhà Max Reinhardt” tại Berlin. “Công trình với những hình vòm tương giao và chồng lớp tạo thành một cấu trúc thống nhất, nó chia tách, dồn nén rồi dần biến dạng để hội tụ tại mặt phẳng ngang ở tầng mái. Nguyên khởi của hình dạng này là mặt Moebius, dạng hình học 3 chiều chỉ nhấn mạnh một bề mặt không kết thúc với ràng buộc 3 pha:

Pha một, các mặt phẳng được tạo ra bằng cách mở rộng các vectơ và các góc tam giác. Pha 2, quay quanh dải băng Moebius và làm như pha 1 để tạo ra những mặt kỳ lạ. Pha 3, dùng các công trình lịch sử có sẵn của Berlin làm không gian công cộng rộng rãi bao quanh. Khi dải Moebius khép mối lại, nhà Max Reinhardt hiện ra, nó phủ nhận hoàn toàn phép biện chứng truyền thống về bên trong với bên ngoài, xóa nhòa sự phân biệt giữa không gian riêng với không gian chung”.(5)

Như đã nói, các nhà kiến trúc, tuy hơi chậm, đã học tập các phát kiến khoa học trong lĩnh vực topology. Bên cạnh việc khởi thảo các thiết kế và công trình, họ cũng đã bắt đầu suy tư về topology.

Năm 1999, trong luận án tiến sĩ “Kiến trúc và topology: thông qua một lý thuyết không gian kiến trúc”(6) của mình, Giuseppa Di Cristina đã viết “Cái thuyết phục cuối cùng của kiến trúc chính là không gian: điều này được tạo ra thông qua logic vị trí của các yếu tố, nghĩa là thông qua sự sắp đặt mà tạo ra các mối liên hệ không gian; giá trị hình thức được thay thế bởi giá trị không gian trong cấu hình: điều quan trọng không phải là hình dạng bên ngoài mà chính là chất lượng không gian. Và vì thế hình học topo của các dạng “không cứng nhắc” đã không cần “thước đo”. Điều đó không còn là cái gì quá trừu tượng mà thực sự đã trở thành phương thức hành động trong việc cụ thể hóa không gian của ngành kiến trúc”.

JPEG - 5.6 kb
Eisenma 1992: nhà Max Reinhardt

Kiến trúc sư Stephen Perrella cũng giải thích topology kiến trúc như sau: “Topology kiến trúc là sự biến chuyển đan quyện vào nhau của hình dạng, cấu trúc, ngữ cảnh và quy hoạch để trở thành những hình mẫu đan dệt và những hệ động lực phức hợp. Nhiều năm qua, cảm hứng thiết kế nảy mầm từ bề mặt kiến trúc và từ topology hóa các hình mẫu đã được khai thác có hệ thống để cho ra đời nhiều quy hoạch kiến trúc khác nhau. Sự ảnh hưởng của phần mềm đồ họa động, vật liệu bền hơn, quy trình chế tạo điều khiển bằng máy tính và tin học, nói chung, đã làm cho “không gian” topology khác hẳn không gian Đề các (hoặc Euclid). Trong không gian topo học này các sự kiện biến đổi theo thời gian được xếp chèn vào chính các khuôn dạng kiến trúc. Không gian bây giờ không còn được quan niệm như là khoảng chân không chứa đựng các chủ thể và khách thể như xưa nữa. Không gian bây giờ được quan niệm như một tấm mạng liên thông, dày đặc các chi tiết và các đơn thể chứ không phải là “không gian lấp đầy vật chất”.”

Tóm lại, có thể nói ngày nay, tư duy toán học ảnh hưởng sâu sắc đến các nhà kiến trúc tiên phong, đặc biệt là tư duy toán topo (place, nơi, chỗ) chứ không phải là tư duy toán point (điểm, position). Mặc dù chưa có một lý thuyết chính xác cho kiến trúc topology, nhưng trên thực tế đã hình thành một khuynh hướng topology trong giới kiến trúc sư cả ở hai mức lý thuyết và thực hành. Đặc biệt, sự phát triển của các môn toán học và hình học hiện đại, của môn tâm lý học thị giác và đồ họa máy tính đã ảnh hưởng đến sự đổi mới hiện nay của kiến trúc cũng như đến quá trình tiến hóa của tư duy kiến trúc. Cái hấp dẫn nhất đối với nhà kiến trúc, những người thường nắm vững lý thuyết logic của đường cong và sự uốn lượn, là ý nghĩa của các chữ “sự kiện”, “tiến hóa” và “quá trình”, là ý nghĩa của thuyết động lực (cái khởi động cho các cấu hình mềm dẻo, lưu chuyển, cái mà ngày nay được gọi là “kiến trúc topology”). Topology của kiến trúc mang nghĩa là biến dạng động lực của các hình dạng được tạo ra bằng công nghệ điện toán, bằng phác thảo dựa vào máy tính và bằng các phần mềm đồ họa động (animation). Việc topology hóa các dạng kiến trúc theo cấu hình động học và phức hợp này đã đưa phác thảo kiến trúc đến thời đại mới, đặc biệt mang tính mềm dẻo, sau thời của Baroque và của chủ nghĩa biểu hiện có tổ chức.

(KTS. Nguyễn Văn Chương - TS. Hoàng Quang Tuyến)

Tài liệu tham khảo

[1] K. W. Forster, ed., Metamorph:Focus, catalogue, La Biennale di Venezia, Marsilio ed., 2004, p. 31-43.

[2] A. Imperiale, New Bidimensionality, Birkhauser, Basel (2001)

[3] M. Emmer, Mathland: from Flatland to Hypersurfaces, Birkhauser, Boston (2004) (It. ed., Testo ed Immagine, ed., Torino, 2003).

[4] A. Imperiale, in [2] .

[5] Eisenman Architects, Max Reinhardt Haus, in Metamorph: Trajectories, catalogue, La Biennale di Venezia, Marsilio ed., 2004, p. 252.

[6] Di Cristina, G., ed., Architecture and Science,Wiley-Academy, Chichester (2001)

[7] M. Emmer, ed., Matematica e Cultura 2000, Springer verlag Italia, Milano, (2000); English edition, Springer verlag, Berlin (2004)

[8] M. Emmer, ed., Matematica e Cultura 2003, with musical CD, Springer Verlag Italia, Milano (2003); English edition in preparation.

[9] Website "Matematica e Cultura": http://www.mat.uniroma1.it/venezia2004 (the date in October changes each year)

[10] M. Kline, Mathematics in Western Culture, OxfordUniversity Press, New York (1953)

[11] M. Emmer, Mathland, from Flatland to Hypersurfaces, Birkhauser, Boston (2004)

[12] John Beckmann, ed., The Virtual Dimension:Architecture, Representation, and Crash Culture, Princeton Architectural Press, New York (1998)

[13] G. Di Cristina, ed., Architecture and Science, Wiley Academy, Chichester (2001)