Chủ nghĩa Platon, chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa kết cấu

Chúng ta ai mà đã chẳng từng học tính diện tích hình tròn, biết rằng tổng ba góc của một tam giác phẳng bất kỳ là 180°. Thế nhưng liệu có tồn tại hình tròn hay tam giác thực sự không? Câu trả lời chính xác là không, hay ít nhất là cho tới giờ người ta chưa từng phát hiện ra bất kỳ một vật thể cụ thể nào trong thế giới hoàn toàn tròn, hay một hình có dạng tam giác nào thực sự gồm 3 cạnh phẳng. Khái niệm hình tròn hay tam giác thực chất là những đối tượng của toán học. Có thể nói rằng chúng là những vật thể lý tưởng hoá các vật thể dạng tròn, dạng tam giác có trong tự nhiên. Vậy chúng có thực hay không?

Theo Platon, hay nói chính xác hơn là trong triết học Hy Lạp cổ đại, những đối tượng toán học như hình tròn, hình tam giác hay tập hợp số tự nhiên N = 1, 2, 3, … có thực. Sự tồn tại của chúng được coi là một sự thật khách quan, không phụ thuộc vào việc liệu chúng ta có biết tới sự tồn tại của chúng hay là không. Tất nhiên những đối tượng này tồn tại bên ngoài không gian và thời gian của tồn tại vật lý [tức thế giới vật lý]. Chúng có tính vĩnh cửu – không được tạo ra, chưa từng thay đổi và không bao giờ biến mất. Mỗi một câu hỏi có ý nghĩa về một đối tượng toán học có một câu trả lời chính xác, và điều này không phụ thuộc vào việc liệu chúng ta có thể đưa ra câu trả lời đó hay là không. Như vậy, theo chủ nghĩa Platon, một nhà toán học cũng chỉ là một nhà khoa học thực nghiệm – giống như một nhà địa lý: anh ta chẳng thể phát minh, bởi vì mọi thứ đã có sẵn. Anh ta chỉ có thể vỏn vẹn phát hiện ra các sự vật.

Rene Thom (1923-2003)

Hai nhân vật tin theo chủ nghĩa Platon là René Thom và Kurt Gödel. Thom viết năm 1971:

- „Chung qui, các nhà toán học cần phải có lòng dũng cảm để tin tưởng một cách sâu sắc nhất – và vì vậy cũng quan niệm - rằng các công thức toán học trong thực tế có một sự tồn tại không phụ thuộc vào tri giác [tức là người] quan sát chúng. Hơn thế nữa [cần tin rằng], các nhà toán học luôn luôn chỉ có được một cảnh quan không hoàn thiện và gãy đoạn về thế giới hình thái này.“

Kurt Gödel

Và Gödel đã viết như sau:
- „Mặc dù những đối tượng của lý thuyết tập hợp thật xa cách đối với kinh nghiệm nhận thức của chúng ta, chúng ta vẫn nhận thấy chúng có thực theo một cách nào đó; bởi vì bản thân các tiên đề được đưa ra [giống] như là các sự thực. Tôi không nhìn thấy nguyên nhân nào buộc chúng ta tin tưởng vào cách nhận thức này - tức tin tưởng vào trực giác toán học - ít hơn nhận thức giác quan… Những đối tượng này có thể đại diện cho một khía cạnh của thực tế khách quan.“

Đối lập với họ là Abraham Robinson – một người theo chủ nghĩa hình thức, ông viết:

Abraham Robinson (1918-1974)
- „Tôi không thể tưởng tượng được rằng tôi lại một lần nào nữa lại trở thành một người tin vào chủ nghĩa Platon, kẻ nhìn nhận thế giới của vô tận thực sự mở rộng trước mắt và tin rằng anh ta có thể nắm bắt được cái không thể nắm bắt.“

Chủ nghĩa hình thức quan niệm rằng không tồn tại các đối tượng toán học. Toán học chỉ bao gồm các tiên đề, các định nghĩa và các định lý – nói cách khác, toán học chỉ là các công thức. Chỉ các qui tắc tồn tại, mà với sự giúp đỡ của chúng một công thức này có thể được dẫn xuất từ những công thức khác, nhưng những công thức này không đưa ra nguồn gốc về bất cứ cái gì; chúng chỉ là các chuỗi biểu tượng [hay chuỗi ký hiệu]. Tất nhiên một nhà hình thức biết rằng những công thức toán học thỉnh thoảng được ứng dụng vào các vấn đề của ngành vật lý. Khi mà người ta gán cho một công thức toán học một diễn giải vật lý, thì công thức đó nhận được một nội dung và khi đó trở nên có thể đúng hoặc sai. Nhưng sự đúng hay sai này của nó gắn liền với diễn giải vật lý riêng biệt đó. Với tư cách là một công thức toán học nó không có ý nghĩa mà cũng chẳng có một giá trị đúng sai.

Georg Cantor (1845-1918)

Một ví dụ chỉ ra sự khác nhau giữa quan điểm của chủ nghĩa Platon và chủ nghĩa hình thức trong toán học là giả thuyết mang tên „giả thuyết Continuum của Cantor“.

Cantor gọi hai tập hợp là có cùng lực lượng nếu chúng ta có thể thiết lập quan hệ 1-1 giữa các phần tử của hai tập hợp với nhau. Chẳng hạn hai tập hợp gồm ba phần tử là M = 1, 2, 3 và N = a, 4, 100 có lực lượng bằng nhau. Hiển nhiên đối với các tập hợp hữu hạn, khái niệm lực lượng này tầm thường vì nó đồng nghĩa với việc hai tập hợp có cùng số lượng phần tử, nhưng nó trở nên phức tạp nếu chúng ta nói đến các tập hợp vô hạn. Cantor lại phân biệt hai trường hợp các tập hợp vô hạn là các tập hợp vô hạn đếm được, như tập hợp số nguyên Z = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … và gán cho nó lực lượng được gọi là №; và các tập hợp vô hạn không đếm được, như tập hợp số thực R = a.a1a2a3a4a5…. | trong đó a là một số nguyên và a1, a2, a3, a4,… là những số tự nhiên tùy ý với lực lượng gọi là С [tức là continuum]. Về bản chất, № và С đều là hai lực lượng vô hạn, nhưng khác nhau. Nguyên nhân là vì người ta có thể chứng minh được rằng không thể tạo nên một mối quan hệ 1-1 giữa các phần tử của tập hợp số nguyên và số thực.

Hiểu một cách trực giác, bạn có thể tưởng tượng rằng № là lực lượng của một chuỗi vô hạn các điểm rời rạc còn С là lực lượng của một đoạn thẳng liền nét. Điểm đặc biệt đáng chú ý của khái niệm lực lượng các tập hợp vô hạn cũng có thể hiểu một cách trực giác như sau: mọi chuỗi vô hạn các điểm rời rạc đều có lực lượng №, bất kể là bạn thấy mật độ các điểm trong chuỗi này có dày đặc hơn chuỗi kia tại mọi vị trí đi chăng nữa. Ví dụ: tập hợp số nguyên Z là tập hợp mở rộng của tập hợp số tự nhiên N nhưng chúng cùng có lực lượng №. Kỳ quái hơn về mặt trực giác, mọi đoạn thẳng dài ngắn bất kỳ [và mọi mặt phẳng hình vuông, tròn .v.v.] liền nét đều có cùng lực lượng С. Tức là bất kỳ một đoạn thẳng ngắn nào nằm trong một đường thẳng chứa nó cũng cùng có chung lực lượng С.

Giả thuyết Continuum của Cantor phỏng đoán rằng „Không có một lực lượng vô hạn nào lớn hơn № và nhỏ hơn С." Nghĩa là không có một tập hợp vô hạn nào có lực lượng nằm lơ lửng giữa № và С. Bản thân Cantor đã không thể tìm được một tập hợp nào như vậy.

Paul Cohen (1934-2007)

Mãi sau này Kurt Gödel và Paul Cohen mới chỉ ra rằng nếu dựa trên nền tảng là các tiên đề của lý thuyết tập hợp hình thức thì không thể chứng minh được (Gödel 1937) cũng như không thể phủ định được (Cohen 1964) „giả thuyết Continuum“!! Đây là một hiện tượng rất quái dị, bởi vì trước đó [chính xác là trước Gödel] người ta luôn tin rằng mọi giả thuyết toán học chỉ có thể được chứng minh đúng hoặc chứng minh là sai, không có cái gì là vừa không thể chứng minh đúng vừa không thể chứng minh sai. Chứng minh của hai người đã gây sốc đối với giới toán học và dẫn đến những hệ quả hết sức kỳ lạ, nhưng tôi sẽ không nói thêm về chuyện này vì kiến thức bản thân có hạn và bài viết đi theo hướng khác.

Đối với một người theo chủ nghĩa Platon câu chuyện ở trên có nghĩa là hệ thống các số thực R đã luôn tồn tại, nhưng những tiên đề của chúng ta dùng để mô tả nó còn khiếm khuyết. Chúng không đủ mạnh để đưa ra cho chúng ta sự thật hoàn chỉnh. Giả thuyết Continuum không đúng mà cũng không sai, chỉ là chúng ta chưa hiểu đủ tập hợp số thực R để đưa ra câu trả lời chính xác.

Ngược lại, các nhà hình thức không thể chấp nhận những diễn giải của chủ nghĩa Platon, bởi vì theo họ, không tồn tại cái gọi là hệ thống các số thực R, ngoại trừ trường hợp chúng ta quyết định tạo ra một hệ thống như vậy, bằng cách thiết lập các tiên đề mô tả hệ thống ấy. [Tức là R là một sản phẩm của chúng ta, chứ không luôn tồn tại độc lập với chúng ta.] Cố nhiên chúng ta có thể thoải mái thay đổi hệ thống các tiên đề này nếu chúng ta muốn. Nhưng những sự thay đổi như vậy chẳng thể đem lại một sự tiếp cận gần hơn đến thực tế [của hệ thống R], bởi vì thực tế này không tồn tại.

Mặc dù trong câu hỏi về sự tồn tại và thực tế hai chủ nghĩa Platon và hình thức đối lập nhau nhưng về các nguyên tắc lập luận mà người ta cho phép sử dụng trong toán học, chúng không có mâu thuẫn. Một luồng tư tưởng thứ ba hoàn toàn khác biệt với hai chủ nghĩa trên là chủ nghĩa kết cấu. Đối với những người theo chủ nghĩa kết cấu thì chỉ những gì có thể được tạo ra từ một kết cấu hữu hạn mới là toán học thực thụ. Tập hợp các số thực R hay bất kỳ một tập hợp vô hạn nào cũng không thể được kết tạo ra như thế. Điều này dẫn đến việc các nhà kết cấu coi giả thuyết Continuum của Cantor chỉ là một dạng hoa ngôn xảo ngữ vô nghĩa. Trả lời một câu hỏi như vậy đối với họ đơn giản chỉ là phí thời gian.

Xem tiếp Cuộc khủng hoảng nền tảng toán học (3)

Theo: talawas.org