Khi còn là một sinh viên Taniyama đã nghiên cứu các bài báo của A. Weil. Có vẻ như việc này ảnh hưởng sâu sắc đến anh ấy, năm 1953 anh ấy có viết một bài nhỏ, “Về A. Weil”, đã được đăng trong Sugaku no ayumi, tập 1, số 1; đó là một ấn phẩm định kỳ của tờ Tin tức của hội Toán học, Taniyama là một trong những người sáng lập ra tờ báo này. Nó được in lại trong tuyển tập các công trình của Taniyama, bản tiếng Nhật. Mãi cho đến năm 1955 anh ấy và Weil mới gặp nhau, tại hội thảo Lý thuyết số ở Tokyo.

Trong bài viết của mình, anh ấy thể hiện các quan điểm trái ngược nhau. Một mặt, anh ấy sùng bái Weil về sự sâu sắc, sáng tạo và kỹ thuật tuyệt vời của ông; nhưng cũng đồng thời phê phán Weil vì ông không đi đủ xa. Trong đoạn gần cuối của bài viết Taniyama đã hỏi xem có căn phòng nào lưu trữ những ý tưởng cách mạng trong Toán học. Bài viết kết thúc với một quan điểm phá hoại liên quan đến các nhà Toán học Nhật trong những năm 1950.

Andre Weil có lẽ là một nhà toán lớn nhất thế giới, trừ C. L. Siegel. Ông ấy là một giáo sư ở đại học Chicago, và là một người thẳng tính. Những lời phê bình của ông ấy thô. Tính bộc trực không thiên vị của Weil, cộng với cái nhìn sâu và rộng là một trong những sức mạnh của nhóm Bourbaki. Nhưng sự kiên nhẫn nổi tiếng của ông ấy ít hơn cả những nhà Toán học ít thành công hơn. Tuy nhiên Toán học sẽ bị bóp nghẹt nếu nó không có tính mở, điều này không lập tức giải tán Bourbaki.

Mọi người có thể thấy sự sâu sắc và tầm nhìn rộng của Weil, ví dụ trong bài viết ”L’avenir des Mathematiques” hoặc bài giảng tại đại hội quốc tế năm 1950 của ông ấy. Bởi vì ông đã tạo một bước tiến khổng lồ và sự tìm tòi táo bạo, một vài thời điểm chúng tôi khó mà tin ông ấy. Tuy nhiên, sẽ là nguy hiểm với những người xoàng như chúng tôi nếu đánh giá một thiên tài.

Ai cũng biết rằng Bourbaki được hình thành bởi những người xung quanh Weil, để chống lại sự cổ hủ của học thuật Pháp. Chúng ta sẽ không quan tâm đến hiểu biết sâu sắc của của họ về Toán học cổ điển, điều đó nằm bên dứoi của các phương pháp hiện đại. Tại thời điểm này, Toán học xem như lý thuyết trừu tượng, một tập các tiên đề, và các lý thuyết không mâu thuẫn. Thao thức trong những năm 1930 bởi giấc mơ đẹp đẽ này, Toán học “hiện đại” đã tìm được chủ nghĩa hình thức này tương đối gượng ép. Cái gì có thể có nghĩa trong trong sự trừu tượng, lý thuyết phi mâu thuẫn?

Để có ý nghĩa, nó phải có khả năng trừu tượng, hài hoà, và có thể thu lại được các kết quả cổ điển từ bức tranh tổng quan. Nó nói rằng mục đích của Toán học hiệnđại là xây dựng lại và phát triển. Hơn nữa, một lĩnh vực giới hạn trong chính nó sự trừu tượng cơ bản sẽ bộc lộ nguy hiểm khi trở thành một lý thuyết. (Chúng ta đã thấy điều này trong một vài hội thảo tại Mỹ). Chúng ta thấy rằng sự làm việc sâu sắc bởi niềm tin của Bourbaki ngăn ngừa sụ nguy hiểm đó.

Trong tất cả các trường hợp, Weil là, theo nghĩa này, một hiện thân của Toán học hiện đại. Nó nằm trong sự sáng tạo của ông ấy, những cũng trong sự kết thúc của ông.

Dẫu cho nhũng suy nghĩ của ông là đơn giản: Những bài báo của Weil viết một cách súc tích với nhiều phương pháp kỹ thuật và các cách tiếp cận, chúng tương đối khó đọc. Chúng tôi sẽ chọn ba ví dụ tốt nhất về các bài báo của ông ấy: Lý thuyết phương trình vô định, ba đoạn về Hình học đại số, và lý thuyết trường lớp và các hàm L. Ở đây chúng ta chú ý đến những điểm chung đặc trưng. Cái gì là trừu tượng và tổng quát? Đây là vấn đề đầu tiên. Với điều này, Weil rút ra một tính chất đơn giản hoặc một ý tưởng cốt lõi từ một lý thuyết cổ điển. Vấn đề tiếp sau là mang ra ngoài lược đồ này. Dọc theo con đường, tất nhiên, anh ấy gặp những trở ngại nhất định. Tại thời điểm này, hầu hết các nhà toán học sẽ từ bỏ hoặc đi đường vòng. Nhưng Weil không bao giờ thay đổi lược đồ lúc đầu của ông. Ông chinh phục các trở ngại từng bước một. Những thiên tài tiếp sau quan trọng nhất của ông là sức bền và sự kiên trì. Chúng dẫn đến những thành tựu sâu của ông, xa hơn sự trừu tượng đơn giản.

Tuy nhiên, một thiên tài như vậy bị thu hút bởi nhiều lĩnh vực khác nhau. Bởi vì anh ấy tấn công quá nhiều bài toán nên ông ấy có xu hướng không quan tâm một bài toán một cách đầy đủ. Đây là lý do tại sao các kết quả quan trọng nhất của ông mất đi sự duyên dáng.

Hơn nữa, có một câu hỏi xa hơn. Cụ thể, Bourbaki đã hoàn thành cơ sở toán học vũng chắc, và họ đã phát triển tổng quát rộng. Nhưng cái gì vậy? Đây chính là tuyển tập toán học hiện đại. Chúng ta sẽ luôn tin vào thế kỷ 19 (với kho bài toán của chúng ta)? Một lĩnh vực khác hoàn toàn, một sự phát triển bất ngờ, một mỗi quan hệ sâu giữa nhiều nhánh hơn là những liên hệ hình thức, những ý tưởng xa hơn không tồn tại? Không thể mở đường vào một thế giới mới thông qua cách tiếp cận của Weil. Nhưng nó có thể nếu một thiên tài của thế kỷ xuất hiện theo đó. Dưòng như nó không liên quan đến chúng ta tới giấc mơ về thế giới không phát triển, bởi vì cũng nhiều bài toán chưa giải được tại thời điểm này, ngay cả trong hoàn cảnh của toán học hiện đại. Xa hơn, chúng ta có thể đợi Weil thứ hai, thứ ba.

Vừa rồi tôi đã đề cập đến sức mạnh của Weil. Siegel, sáng tạo hơn Weil nhiều, và cũng vượt xa Weil về sức mạnh. Với nhiều nhà toán học của đất nước chúng tôi, những người yêu sự trừu tượng hình thức nhưng thiếu sức bền, để phấn đấu đến sự sáng tạo sâu sắc chắc chắn sẽ gặp điểm yếu của họ!

Nguyễn Trung Tuân

Dịch từ : “On A. Weil” by Yutaka Taniyama